Annales du bac

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (\( CO_2 \)) à débit constant.

Dans ce qui suit, \( t \) est le temps exprimé en minutes.

À l'instant \( t = 0\), la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant \( 20 \) minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de \( CO_2 \) contenu dans le local au bout de \( t \) minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression \( f(t) \), où \( f \) est la fonction définie pour tout réel \( t \) de l'intervalle \( [0 ; 20] \) par : \[ f(t) = \left(0,8t + 0,2\right)e^{-0,7t} + 0,2 \] On donne ci-après le tableau de variation de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 20]\).

Ainsi, la valeur \( f(0) = 0,4 \) traduit le fait que le taux de \( CO_2 \) à l'instant \( 0 \) est égal à \( 40\%% \).

On souhaite que le taux de \( CO_2 \) retrouve une valeur \( V \) inférieure ou égale à \( 35\%% \).
On considère l'algorithme suivant :

On désigne par \( V_m \) le taux moyen (en pourcentage) de \( CO_2 \) présent dans le local pendant les \( 14 \) premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.