Annales du bac

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 272 exercices du chapitre

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons.
Tous les ans à la même période :
  • - Il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • - La vente de chaque poisson permet l’achat de cinq petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus \( 900 \) poissons pour le bassin A et \( 400 \) poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à \( 1 \), on note respectivement \( a_n \) et \( b_n \) les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de \( n \) années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est \( a_0 = 700 \) et celui du bassin B est \( b_0 = 900 \).

Calculer \( a_1 \)
Calculer \( b_1 \)

On désigne par \( A \) et \( B \) les matrices telles que \( A = \begin{pmatrix}0 & 5\\1 & 0\end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix}900\\400\end{pmatrix} \) et pour tout entier naturel \( n \), on pose \( X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} \).

Écrire l'équation qui lie \( X_{n+1} \), \( X_n \), \( A \) et \( B \).
Déterminer les réels \( x \) et \( y \) tels que : \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - B \]Déterminer \( x \).
Déterminer \( y \).
Pour tout entier naturel \( n \), on pose \( Yn = \begin{pmatrix}a_n + x=725 \\ b_n + y=325 \end{pmatrix} \).
Écrire l'équation qui lie \( Y_{n+1} \), \( Y_n \), \( A \) et \( B \).
Pour tout entier naturel \( n \), on pose \( Z_n = Y_{2n} \).
Écrire l'équation qui lie \( Z_{n+1} \), \( Z_n \), \( A \) et \( B \).
Calculer \( A^2 \).
Réécrire l'équation qui lie \( Z_{n+1} \) et \( Z_n \) sans \( A \) ni \( B \).
On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que : \[ Y_{2n} = 5^{n} Y_0 \] \[ Y_{2n+1} = 5^{n} Y_1 \]En déduire, \( a_{2n} \) uniquement en fonction de \( n \).
Puis, \( a_{2n+1} \) uniquement en fonction de \( n \).
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