Annales du bac

On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -11y + 7x = 1 \]

Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).

Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.

Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).

Une boîte contient 35 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 35 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et \( y \) jetons verts.
Sachant que \( -11y + 7x = 1 \), donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \) le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche à maximiser le nombre de jetons rouges.

Dans la suite, on supposera qu'il y a 8 jetons rouges et 5 jetons verts.

On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 35, puis on le remet dans la boîte.

• Lorsqu'on est en A :
  Le pion va en B si le jeton tiré est rouge. Il va en C si le jeton tiré est vert. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en B :
  Le pion va en A si le jeton tiré est rouge. Il va en C si le jeton tiré est vert. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en C :
  Le pion va en A si le jeton tiré est rouge. Il va en B si le jeton tiré est vert. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).

On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,63 & 0,23 & 0,14\\0,23 & 0,63 & 0,14\\0,23 & 0,14 & 0,63\end{pmatrix} \).

Donner la matrice ligne \( X_{0} \).

Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).

On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{21} & \dfrac{1}{21} & 0\\0 & - \dfrac{1}{18} & \dfrac{1}{18}\\\dfrac{8}{21} & \dfrac{43}{126} & \dfrac{5}{18}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,4 & 0 & 0\\0 & 0,49 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).

À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.

Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).

Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).

On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

On admet que \( \alpha_n = \dfrac{8}{21} + \dfrac{13}{21} \times 2^{n} \times 5^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{43}{126} - \dfrac{13}{21}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{17}{35}\right)^{n} \).

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).

Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).

Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et \( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques \( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).

Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?